2do caso de factoreo

|

                      FACTOR COMÚN EN GRUPOS / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)


4a  +  4b  +  xa  +  xb  =

4.(a + b)  +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).


                                           EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1




EJEMPLO 2: ("Resultado desordenado")


4a +  4b  +  xb  +  xa =

4.(a + b) +  x.(b + a) =

4.(a + b) +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

En el primer paso el "resultado" quedó "desordenado": (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los términos, ya que (b + a) es igual que (a + b)


                                                      EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Con términos negativos)


4a  -  4b  +  xa  -  xb =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

     (a - b).(4 + x)

Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3




EJEMPLO 4: (Con términos negativos y "Resultado desordenado")


4a  -  4b  -  xb  +  xa =

4.(a - b)  +  x.(-b + a) =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

      (a - b).(4 + x)

En el primer paso quedó desordenado, pero luego puedo cambiar el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)

 ¿Por qué se llama así el caso?

Porque se toman "grupos" de términos para sacar Factor Común entre ellos.


¿Y por qué se eligen "grupos" de términos?

Porque en el polinomio no hay un Factor Común para todos los términos, pero sí lo hay para algunos términos entre sí. Con estos términos que tienen factor común entre sí es que se arman los "grupos".


¿Y siempre se puede aplicar este caso?

No, el polinomio tiene que cumplir varias condiciones para que se pueda aplicar el caso:

1. El número de términos debe ser par: 4 términos, 6 términos, 8 términos... (Para que se puedan armar grupos de igual cantidad de términos).

2. En todos los grupos que armemos tienen que haber Factor Común entre los términos que agrupamos (con un caso excepcional: ver EJEMPLO 10).

3. Los "resultados" de sacar Factor Común en los distintos grupos deben dar iguales, o con los mismos términos desordenados y/u opuestos (con signo contrario)

Factor comun

                                Factor Comun

Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio.
Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.
Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente de todas

Ejemplo:

Como puede verse el cinco es el común numérico y la “x” la única letra común en este polinomio, como dos es el menor exponente de “x” es este el exponente que se tomara en cuenta, siendo el factor común 5x2.
Nos queda como respuesta:

Ejemplos:
Encontrar el factor común de los siguientes términos:

Factoreo

                                                                   Factoreo

CONCEPTOS GENERALES SOBRE LA FACTORIZACIÓN:

¿Qué es factorizar o factorear un polinomio?

Factorizar o Factorear significa "transformar en multiplicación" (o "producto", como también se le llama a la multiplicación). Partimos de una expresión formada por sumas y/o restas de términos (x² + 3x + 2 por ejemplo), y llegamos a una expresión equivalente, pero que es una multiplicación ( (x + 2).(x + 1) en nuestro ejemplo).


¿Por qué se llama "factorizar" o factorear?

Porque a los elementos que están multiplicando en una multiplicación se les llama "factores". Por ejemplo, en la multiplicación 2 x 3 = 6 , el 2 y el 3 son los "factores".
En el ejemplo del punto anterior, (x + 2) y (x + 1) son los factores.


¿Para qué sirve factorizar un polinomio?

Por ejemplo, tener factorizada la fórmula de una función polinómica sirve para encontrar o visualizar los "ceros" o "raíces". Y eso es algo de gran utilidad en varios temas: para analizar la positividad y negatividad de la función, o para encontrar los máximos y/o mínimos. También la factorización de polinomios se puede utilizar para: resolver inecuaciones de grado 2 o mayor, hallar algunos límites, resolver ecuaciones polinómicas fraccionarias, identidades y ecuaciones trigonométricas, etc. Es decir que nos enseñan a factorizar porque en otros temas de Matemática necesitaremos factorizar polinomios para trabajar con multiplicaciones en vez de sumas y restas.


¿Cómo puedo saber si factoricé correctamente?

Multiplicando los factores que obtuvimos tenemos que poder llegar a la misma expresión de sumas y/o restas de la que partimos. No olvidemos que al factorizar estamos obteniendo una expresión equivalente a la original, pero con distinta forma (de multiplicación). Si luego multiplico todos los factores que quedaron en el resultado, tengo que volver "al principio". De esta forma estamos haciendo una "verificación". Por ejemplo:

Factoreo (con el Séptimo caso: Trinomio de segundo grado):

x² + 3x + 2 = (x + 2).(x + 1)     

Verificación (Multiplicación aplicando la Propiedad distributiva):

(x + 2).(x + 1) =  x² + x  + 2x + 2 = x² + 3x + 2    


En casi todos los casos se puede decir que "factorizar es lo contrario de multiplicar" o "factorizar es lo contrario de aplicar la distributiva" (Propiedad distributiva de la multiplicación con la suma).

Matematicas

Las matemáticas o la matemática (del latin  mathematĭca, y este del griego μαθηματικά, derivado de μάθημα, ‘conocimiento’) es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas como numeros, figuras geometricas o simbolos.
Para explicar el mundo natural se usan las matemáticas, tal como lo expresó Eugene Paul .

La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que roza lo misterioso, y no hay explicación para ello. No es en absoluto natural que existan “leyes de la naturaleza”, y mucho menos que el hombre sea capaz de descubrirlas. El milagro de lo apropiado que resulta el lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que no comprendemos ni nos merecemos.

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico.
Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.
Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.